Large deviations for invariant measures of general stochastic reaction–diffusion systems

In this paper we prove a large deviations principle for the invariant measures of a class of reaction–diffusion systems in bounded domains of Rd , d 1, perturbed by a noise of multiplicative type. We consider reaction terms which are not Lipschitzcontinuous and diffusion coefficients in front of the noise which are not bounded and may be degenerate. To cite this article: S. Cerrai, M. Röckner, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 337 (2003).  2003 Académie des sciences. Published by Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. All rights reserved. Résumé Grandes déviations pour les mesures invariantes de systèmes généraux d’équations de réaction–diffusion stochastiques. Dans cet article on prouve un principe de grandes déviations pour les mesures invariantes de systèmes de réaction– diffusion stochastiques dans des domaines bornés de Rd , d 1, perturbés par un bruit multiplicatif. On considère des termes de réaction qui ne sont pas Lipschitz-continus et des coefficients de diffusion qui ne sont pas bornés et peuvent être dégénérés. Pour citer cet article : S. Cerrai, M. Röckner, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 337 (2003).  2003 Académie des sciences. Published by Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. All rights reserved. Version française abrégée On étudie le comportement asymptotique des systèmes de réaction–diffusion stochastiques dans des domaines bornés de R , d 1, perturbés par un bruit multiplicatif (cf. (1)). Le terme de réaction est localement Lipschitzien et à croissance polynomiale. Le terme de diffusion est Lipschitz-continu et non borné. De plus, il peut s’annuler. Le bruit est blanc dans le temps et coloré dans l’espace. En dimension d = 1 il peut être pris blanc et en dimension d > 1 il doit être coloré, mais la covariance n’est jamais de classe Hilbert–Schmidt. Dans [4] nous avons prouvé que pour chaque ε > 0 le système (1) a une solution uε dans l’espace des fonctions continues E et que pour chaque x ∈E et a > 0 la famille des probabilités {L(uε (t))}t a est tendue dans (E,B(E)). Donc, il existe une suite {tn} ↑ +∞ (qui peut dépendre de ε) telle que la suite des probabilités (voir (3)), converge E-mail addresses: [email protected] (S. Cerrai), [email protected] (M. Röckner). 1631-073X/$ – see front matter  2003 Académie des sciences. Published by Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. All rights reserved. doi:10.1016/j.crma.2003.09.015 598 S. Cerrai, M. Röckner / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 337 (2003) 597–602 faiblement vers une mesure νε qui est invariante pour le système (1). Nous montrons ici que la famille des mesures invariantes {νε}ε>0 obéit à un principe des grandes déviations dans l’espace E.